Rotacional

En el cálculo vectorial, el rotacional o rotor es un operador vectorial sobre campos vectoriales definidos en un abierto de ${\displaystyle \mathbb {R} ^{3}}$ que muestra la tendencia de un campo vectorial a inducir rotación alrededor de un punto.

Matemáticamente, esta idea se expresa como el límite de la circulación del campo vectorial, cuando la curva sobre la que se integra se reduce a un punto:

${\displaystyle \mathbf {U} \cdot {\mbox{rot}}\ \mathbf {F} =\mathbf {U} \cdot \nabla \times \mathbf {F} \equiv \lim _{\Delta S\to 0}{\frac {1}{\Delta S}}\oint _{C}\mathbf {F} \cdot {\text{d}}\mathbf {r} }$

Aquí, ${\displaystyle \Delta S}$ es el área de la superficie apoyada en la curva ${\displaystyle C}$, que se reduce a un punto. El resultado de este límite no es el rotacional completo (que es un vector), sino solo su componente según la dirección normal a ${\displaystyle \Delta S}$ y orientada según la regla de la mano derecha. Para obtener el rotacional completo deberán calcularse tres límites, considerando tres curvas situadas en planos perpendiculares.

Aunque el que el rotacional de un campo alrededor de un punto sea distinto de cero no implica que las líneas de campo giren alrededor de ese punto y lo encierren.

Fuente vectorial y escalar

Al campo vectorial, ${\displaystyle \scriptstyle \mathbf {J} }$, que se obtiene calculando el rotacional de un campo ${\displaystyle \scriptstyle \mathbf {F} }$ en cada punto,

${\displaystyle \mathbf {J} =\nabla \times \mathbf {F} }$

se conoce como las fuentes vectoriales de ${\displaystyle \mathbf {F} }$ (siendo las fuentes escalares las que se obtienen mediante la divergencia).

Un campo cuyo rotacional es nulo en todos los puntos del espacio se denomina irrotacional o se dice que carece de fuentes vectoriales. Y si está definido sobre un dominio simplemente conexo entonces dicho campo puede expresarse como el gradiente de una función escalar, o dicho de otra forma, el campo deriva de un potencial (es decir, es conservativo):

${\displaystyle \nabla \times \mathbf {f} =0\ {\mbox{en}}\ \Omega \ {\mbox{simplemente conexo}}\ \Rightarrow \mathbf {f} =\nabla \phi }$

Propiedades

• Todo campo potencial (expresable como el gradiente de un potencial escalar) es irrotacional y viceversa, esto es,

${\displaystyle \mathbf {E} =-\nabla \phi \qquad \Leftrightarrow \qquad \nabla \times \mathbf {E} =0}$

• Todo campo central (radial y dependiente sólo de la distancia al centro) es irrotacional.

${\displaystyle \mathbf {E} =f(r){\hat {\mathbf {r} }}\qquad \Rightarrow \qquad \nabla \times \mathbf {E} =0}$

En particular, el campo eléctrostático de una carga puntual (y por superposición, cualquier campo electrostático) es irrotacional.

• El rotacional de un campo vectorial es siempre un campo solenoidal, esto es, su divergencia siempre es nula:

${\displaystyle \nabla \cdot \left(\nabla \times {\vec {F}}\right)\equiv 0}$

Identidades

En general, en las coordenadas curvilíneas, (no solo en coordenadas cartesianas), el rotacional de un producto de vectores de campo v y F puede expresarse:

${\displaystyle \nabla \times \left(\mathbf {v\times F} \right)=\left[\left(\mathbf {\nabla \cdot F} \right)+\mathbf {F\cdot \nabla } \right]\mathbf {v} -\left[\left(\mathbf {\nabla \cdot v} \right)+\mathbf {v\cdot \nabla } \right]\mathbf {F} \ .}$

Intercambiando el vector de campo v y el operador ∇, llegamos al producto vectorial de un vector de campo con el rotacional de otro:

${\displaystyle \mathbf {v\ \times } \left(\mathbf {\nabla \times F} \right)=\nabla _{F}\left(\mathbf {v\cdot F} \right)-\left(\mathbf {v\cdot \nabla } \right)\mathbf {F} \ ,}$

usando la notación de Feynman, ∇_F, que opera solo con el vector de campo F.

Otra identidad es el rotacional del rotacional de un vector de campo. Puede ser expresado de la siguiente forma, en coordenadas cartesianas:

${\displaystyle \nabla \times \left(\mathbf {\nabla \times F} \right)=\mathbf {\nabla } (\mathbf {\nabla \cdot F} )-\nabla ^{2}\mathbf {F} \ ,}$

en esta identidad el Operador laplaciano de F se representa como ∇²F.

El rotacional del gradiente de cualquier campo escalar φ es siempre nulo

${\displaystyle \nabla \times (\nabla \phi )={\boldsymbol {0}}}$

Si φ es una función escalar y F es un vector de campo, entonces:

${\displaystyle \nabla \times (\varphi \mathbf {F} )=\nabla \varphi \times \mathbf {F} +\varphi \nabla \times \mathbf {F} }$