Gradiente

El gradiente o también conocido como vector gradiente, denotado ${\displaystyle \nabla f}$ de un campo escalar ${\displaystyle f}$ es un campo vectorial. El vector gradiente de ${\displaystyle f}$ evaluado en un punto genérico ${\displaystyle x}$ del dominio de ${\displaystyle f}$, ${\displaystyle \nabla f}$(${\displaystyle x}$), indica la dirección en la cual el campo ${\displaystyle f}$ varía más rápidamente y su módulo representa el ritmo de variación de ${\displaystyle f}$ en la dirección de dicho vector gradiente. El gradiente se representa con el operador diferencial nabla ${\displaystyle \nabla }$ seguido de la función (atención a no confundir el gradiente con la divergencia, esta última se denota con un punto de producto escalar entre el operador nabla y el campo). También puede representarse mediante ${\displaystyle {\vec {\nabla }}f}$, o usando la notación ${\displaystyle \operatorname {grad} (f)}$. La generalización del concepto de gradiente a campos ${\displaystyle f}$ vectoriales es el concepto de matriz Jacobiana.

Definición

Se toma como campo escalar el que se asigna a cada punto del espacio una presión P (campo escalar de 3 variables), entonces el vector gradiente en un punto genérico del espacio indicará la dirección en la cual la presión cambiará más rápidamente. Otro ejemplo es el de considerar el mapa de líneas de nivel de una montaña como campo escalar, que asigna a cada pareja de coordenadas latitud/longitud un escalar altitud (campo escalar de 2 variables). En este caso el vector gradiente en un punto genérico indicará la dirección de máxima inclinación de la montaña. Nótese que el vector gradiente será perpendicular a las líneas de contorno (líneas "equiescalares") del mapa. El gradiente se define como el campo vectorial cuyas funciones coordenadas son las derivadas parciales del campo escalar, esto es:

${\displaystyle {\boldsymbol {\nabla }}f({\mathbf {r}})=\left({\frac {\partial f({\mathbf {r}})}{\partial x_{1}}},\dots ,{\frac {\partial f({\mathbf {r}})}{\partial x_{n}}}\right)}$

Esta definición se basa en que el gradiente permite calcular fácilmente las derivadas direccionales. Definiendo en primer lugar la derivada direccional según un vector:

${\displaystyle {\frac {\partial \phi }{\partial {\mathbf {n}}}}\equiv \lim _{\epsilon \to 0}{\frac {\phi ({\mathbf {r}}-\epsilon {\hat {\mathbf {n}}})-\phi ({\mathbf {r}})}{\epsilon }}}$

Una forma equivalente de definir el gradiente es como el único vector que, multiplicado por el vector unitario, da la derivada direccional del campo escalar:

${\displaystyle {\frac {\partial \phi }{\partial {\mathbf {n}}}}={\mathbf {n}}\cdot {\boldsymbol {\nabla }}\phi }$

Con la definición anterior, el gradiente está caracterizado de forma unívoca. El gradiente se expresa alternativamente mediante el uso del operador nabla:

${\displaystyle {\rm {grad}}\ \phi =\nabla \phi }$

Propiedades

El gradiente verifica que:

• ${\displaystyle \nabla (f+g)=\nabla f+\nabla g}$
• ${\displaystyle \nabla (\alpha f)=\alpha \nabla f}$,³​ con estas dos propiedades, el gradiente es un operador lineal.
• Es ortogonal a las superficies equiescalares, definidas por ${\displaystyle \phi \,\!}$ =cte.
• Apunta en la dirección en que la derivada direccional es máxima.
• Su norma es igual a esta derivada direccional máxima.
• Se anula en los puntos estacionarios (máximos, mínimos y puntos de silla).
• El campo formado por el gradiente en cada punto es siempre irrotacional, esto es,

Expresión en diferentes sistemas de coordenadas

A partir de su definición puede hallarse su expresión en diferentes sistemas de coordenadas. En coordenadas cartesianas, su expresión es simplemente

${\displaystyle \nabla \phi ={\frac {\partial \phi }{\partial x}}{\hat {x}}+{\frac {\partial \phi }{\partial y}}{\hat {y}}+{\frac {\partial \phi }{\partial z}}{\hat {z}}}$

En un sistema de coordenadas ortogonales, el gradiente requiere los factores de escala, mediante la expresión

${\displaystyle \nabla \phi ={\frac {1}{h_{1}}}{\frac {\partial \phi }{\partial q_{1}}}{\hat {q}}_{1}+{\frac {1}{h_{2}}}{\frac {\partial \phi }{\partial q_{2}}}{\hat {q}}_{2}+{\frac {1}{h_{3}}}{\frac {\partial \phi }{\partial q_{3}}}{\hat {q}}_{3}}$

Para coordenadas cilíndricas (${\displaystyle h_{\rho }=h_{z}=1}$, ${\displaystyle h_{\varphi }=\rho }$) resulta

${\displaystyle \nabla \phi ={\frac {\partial \phi }{\partial \rho }}{\hat {\rho }}+{\frac {1}{\rho }}{\frac {\partial \phi }{\partial \varphi }}{\hat {\varphi }}+{\frac {\partial \phi }{\partial z}}{\hat {z}}}$

y para coordenadas esféricas (${\displaystyle h_{r}=1}$, ${\displaystyle h_{\theta }=r}$, ${\displaystyle h_{\varphi }=r{\rm {sen}}\theta }$)

${\displaystyle \nabla \phi ={\frac {\partial \phi }{\partial r}}{\hat {r}}+{\frac {1}{r}}{\frac {\partial \phi }{\partial \theta }}{\hat {\theta }}+{\frac {1}{r\,{\rm {sen}}\,\theta }}{\frac {\partial \phi }{\partial \varphi }}{\hat {\varphi }}}$

En un sistema de coordenadas curvilíneo general el gradiente tiene la forma:

${\displaystyle \nabla \phi =g^{ij}{\frac {\partial \phi }{\partial x^{i}}}{\hat {e}}_{j}}$

donde en la expresión anterior se usa el convenio de sumación de Einstein.

El gradiente de una magnitud física posee innumerables aplicaciones en física, especialmente en electromagnetismo y mecánica de fluidos. En particular, existen muchos campos vectoriales que puede escribirse como el gradiente de un potencial escalar.

• Uno de ellos es el campo electrostático, que deriva del potencial eléctrico:

${\displaystyle {\mathbf {E}}=-{\boldsymbol {\nabla }}\phi }$

• Todo campo que pueda escribirse como el gradiente de un campo escalar, se denomina potencial, conservativo o irrotacional. Así, una fuerza conservativa deriva de la energía potencial como:

${\displaystyle {\mathbf {F}}=-{\boldsymbol {\nabla }}V}$